29 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una
ciudad viene dada por la función $C(x) = 90 + 15x − 0,6x^2$, donde $x$ es el tiempo
transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años.

¿Hasta que año está creciendo la concentración de ozono?
¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

Derivando la función

\begin{equation}
C(x) = 90 + 15x − 0,6x^2
\end{equation}

e igualando a cero obtenemos:

\begin{equation}
C'(x)=15-1.2x\longrightarrow C'(x)=15-1.2x=0\longrightarrow x=\frac{15}{1.2}=12.5
\end{equation}

Comprobamos a través del criterio de la segunda derivada que es un máximo, ya que

\begin{equation}
C”(x)=-1.2<0
\end{equation}

La concentración de ozono contaminante ha estado creciendo hasta $12.5$ años
después, es decir, hasta el $30$ de junio de $2002$.
La concentración máxima ha sido:

\begin{equation}
\boxed{C(12.5)}=90+15\cdot12.5-0.6\cdot12.5^2=\boxed{183.75\ \frac{\mu g}{m^3}}
\end{equation}

Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro
$8$ y área máxima.

Sea la base $2x$ y la altura $h$, y uno de los lados iguales $y$
Tenempos por un lado la función perímetro

\begin{equation}
2x+2y=8\longrightarrow y=4-x
\end{equation}

Por otro lado, por el Teorenam de Pitágoras

\begin{equation}
h=\sqrt{y^2-x^2}=\sqrt{(4-x)^2-x^2}=\sqrt{16-8x+x^2-x^2}=
\end{equation}

\begin{equation}
=\sqrt{16-8x}=2\sqrt{4-2x}
\end{equation}

La superficie será:

\begin{equation}
f(x)=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot2\cdot\sqrt{4-2x}=2x\cdot\sqrt{4-2x}
\end{equation}

Derivando obtenemos:

\begin{equation}
f'(x)=2\cdot\sqrt{4-2x}+2x\cdot\frac{(-2)}{2\cdot\sqrt{4-2x}}=2\cdot\sqrt{4-2x}-\frac{2x}{\sqrt{4-2x}}=
\end{equation}

\begin{equation}
=\frac{2\cdot(4-2x)-2x}{\sqrt{4-2x}}=\frac{8-4x-2x}{\sqrt{4-2x}}=\frac{8-6x}{\sqrt{4-2x}}
\end{equation}

Igualando la ecuación anterior a cero, obtenemnos:

\begin{equation}
f'(x)=0\longrightarrow\frac{8-6x}{\sqrt{4-2x}}\longrightarrow8-6x=0\longrightarrow x=\frac{4}{3}
\end{equation}

Ahora miraremos si $x=\displaystyle\frac{4}{3}$ es un máximo o un mínimo. Lo haremos por el método gráfico, cogiendo un valor a la derecha y a la izquierda del valor encontrado y evaluándolo en la función derivada.

\begin{equation}
f'(1)>0\hspace{2.0cm}f'(\frac{3}{2})<0
\end{equation}

Por tanto nos indica que en $x=\frac{4}{3}$ hay un máximo.

La base del triángulo será:

\begin{equation}
2x=\frac{8}{3}
\end{equation}

Uno de los lados iguales será:

\begin{equation}
y=4-x=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}
\end{equation}

Se trata de un triángulo equilátero.

La altura es:

\begin{equation}
h=2\cdot\sqrt{4-2x}=2\cdot\sqrt{4-\frac{8}{3}}=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}
\end{equation}

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de $100\ cm^2$, el margen superior tiene que ser de $2$ cm, el inferior de $3$ cm y los laterales de $5$ cm cada uno.

Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Àrea de la parte impresa:

\begin{equation}
x\cdot y=100\ cm^2
\end{equation}

Área total:

\begin{equation}
A(x,y)=(x+10)\cdot(y+5)
\end{equation}

Despejamos la $y$ del área interior y sustituimos, para obtener una función que nos de el área del papel con solo una incógnita.

\begin{equation}
y=\dfrac{100}{x} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} A(x)=(x+10)\cdot\left(\dfrac{100}{x}+5\right)=100+5x+\dfrac{1000}{x}+50
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{A(x)=5x+\dfrac{1000}{x}+150}
\end{equation}

Buscamos los mínimos de esta función:

\begin{equation}
A'(x)=5-\dfrac{1000}{x^2}
\end{equation}

\begin{equation}
A'(x)=0\longrightarrow5-\dfrac{1000}{x^2}=0 \longrightarrow5=\dfrac{1000}{x^2} \hspace{5pt}\longrightarrow x^2=\frac{1000}{5}\longrightarrow x^2=200
\end{equation}

\begin{equation}
x=\pm10\sqrt{2}
\end{equation}

nos quedamos con el dato positivo, ya que un trozo de papel no puede tener medidas negativas.

Comprobemos si para $x=+10\sqrt{2}$ tenemos un mínimo de $A(x)$.

\begin{equation}
A”(x)=\dfrac{2000x}{x^4}=\dfrac{2000}{x^3} \longrightarrow A”(10\sqrt{2})=\dfrac{2000}{(10\sqrt{2})^3}=\dfrac{2000}{1000\cdot2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0
\end{equation}

Luego $x=10\sqrt{2}$ es un mínimo de la función $A(x)$ que nos da el área del folio.

\begin{equation}
y=\dfrac{100}{10\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}
\end{equation}

\textit{Las medidas del folio serán entonces $10\sqrt{2}+10\ cm\approx 24.14\ cm$ de ancho y $5\sqrt{2}+5\ cm\approx 12.07\ cm$ de alto.
}

\item \textbf{Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\ m^3$. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.}

Tenemos que minimizar el área del cilindro, como no tiene tapa el área será la superficie de la base del suelo, que es un círculo, más el área lateral que es un rectángulo de base $2\pi r$ y altura $h$. Luego:

\begin{equation}
\text{Área}=\pi r^2+2\pi rh
\end{equation}

y como el volumen tiene que ser $125\ m^3$ tenemos que $\pi r^2h=125$ luego $h=\dfrac{125}{\pi r^2}$

Definimos la función “área” sustituyendo en la anterior $h$ por $\dfrac{125}{\pi r^2}$ como:

\begin{equation}
a(r)=\pi r^2+2\pi r\dfrac{125}{\pi r^2}=\pi r^2+\dfrac{250}{r}
\end{equation}

Para calcular sus extremos relativos la derivamos:

\begin{equation}
a'(r)=2\pi r-\dfrac{250}{r^2}
\end{equation}

y la igualamos a $0$:

\begin{equation}
2\pi r-\dfrac{250}{r^2}=0\Rightarrow 2\pi r^3-250=0\Rightarrow r^3=\dfrac{125}{\pi}\Rightarrow r=\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}
\end{equation}

Comprobamos que con ese radio la superficie es mínima, calculamos la segunda derivada y vemos que es positiva en ese punto:

\begin{equation}
$a”(r)=2\pi+\dfrac{500r}{r^4}=2\pi+\dfrac{500}{r^3}
\end{equation}

\begin{equation}
a”\left(\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}\right)>0
\end{equation}

luego es un mínimo que es lo que buscábamos.

\begin{equation}
h=\dfrac{125}{\pi r^2}=\dfrac{125}{\pi \left(\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}\right)^2}=\dfrac{125}{ \dfrac{25\pi}{\sqrt[3]{\pi^2}}}=\dfrac{5}{ \dfrac{\pi}{\sqrt[3]{\pi^2}}}=\dfrac{5\sqrt[3]{\pi^2}}{\pi}=\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{\text{La altura y el radio para que su \’area sea m\’inima deben ser }\dfrac{5}{\sqrt[3]{\pi}}}
\end{equation}

\item \textbf{Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para $13.5$ metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.}

Llamamos $x$ a los lados de la base cuadrada e $y$ a la longitud de las paredes verticales. Como nos dicen que el volumen es igual a $13.5\ m^3$ y el volumen del paralelepípedo es área de la base por la altura, tenemos que:

\begin{equation}
V=x^2\cdot y=13’5\rightarrow y=\dfrac{13.5}{x^2}
\end{equation}

Como queremos minimizar el gasto de chapa, es decir, usar el mínimo de metros cuadrados de esta, la función a minimizar es la que nos da el área total del depósito, que es el área de la base más las 4 áreas de los laterales, $x^2+4xy$. Usando lo anteriormente visto tenemos que:

\begin{equation}
f(x)=x^2+4x\dfrac{13’5}{x^2}\hspace{5pt}\longrightarrow f(x)=x^2+\dfrac{54}{x}
\end{equation}

Derivamos para buscar los mínimos:

\begin{equation}
f'(x)=2x-\dfrac{54}{x^2}
\end{equation}

e igualamos la derivada a cero:

\begin{equation}
2x-\dfrac{54}{x^2}=0\longrightarrow2x=\dfrac{54}{x^2}\longrightarrow x^3=27\longrightarrow\boxed{x=3}
\end{equation}

Comprobamos que realmente es un mínimo con la segunda derivada:

\begin{equation}
f”(x)=2+\dfrac{108}{x^3}\longrightarrow f(3)>0
\end{equation}

Es realmente un mínimo.

Despejamos ahora la $y$:

\begin{equation}
y=\dfrac{13’5}{3^2}\longrightarrow\boxed{y=1.5}
\end{equation}

\end{enumerate}

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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