Càlcul de la distància d’una recta a un pla
14 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcula la projecció de la recta $$r:\begin{cases} x=-4+6\lambda \\ y=3 \\ z= 5-5 \lambda \end{cases}$$ sobre el pla $\pi: z=3$.

Primer de tot cal comprovar la posició relativa entre la recta i el pla. El vector director de la recta és $\overrightarrow{ v }=(6,0,-5)$ i el vector normal del pla és $\overrightarrow{ n }=(0,0,1)$. Veiem que no són perpendiculars, per tant, la recta i el pla es tallen.

Per calcular la projecció de la recta sobre el pla, primer de tot calcularem la projecció d’un punt $P$ de la recta sobre el pla, $P^{\prime}$. Llavors, calcularem el punt de tall de la recta $r$ amb el pla $\pi$. Amb aquests $2$ punts, ja en tindrem prou per trobar la projecció de la recta $r$ sobre el pla $\pi$, $r^{\prime}$.

L’equació de la recta $t$ que és perpendicular a $\pi$ i passa per $P$ té vector director $\overrightarrow{ n }$ i és:

$$t:\begin{cases} x=-4 \\ y=3 \\ z= 5+ \lambda \end{cases}$$

Per trobar $P^\prime$ només ens cal trobar la intersecció de $t$ amb $\pi$:

$$5+\lambda=3\rightarrow \lambda=-2 \rightarrow P^{\prime}=(-4,3,3)$$

Ara trobarem el punt $C$ d’intersecció de $r$ amb el pla $\pi$ i tindrem el segon punt. Si substituïm l’equació paramètrica de $r$ a l’equació del pla obtenim:

$$5-5\lambda=3\rightarrow \lambda=\frac{ 2 }{ 5 }\rightarrow C=(-\frac{ 8 }{ 5 },3,3)$$
Llavors, l’equació de la projecció de $r$ sobre el pla $\pi$, o sigui $r^\prime$ la podem trobar amb els punts $P^{\prime}=(-4,3,3)$ i $C=(-\frac{ 8 }{ 5 },3,3)$. Calculeu el seu vector director:

$$\overrightarrow{ v^\prime }=\overrightarrow{ P^\prime C} =(-\frac{ 12 }{ 5 },0,0)$$
Per tant, l’equació de la recta és:

$$r^\prime:\begin{cases} x=-4-\frac{ 12 }{ 5 }\lambda \\ y=3 \\ z= 3 \end{cases}$$

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *