Examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020
18 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora
  1. Una empresa fabrica tres models de televisors, que anomenarem A, B, i C. El model A necessita passar dues hores a l’unitat de muntatge; el model B, tres i el model C, una. El model A ha de passar una hora a l’unitat d’acabat i el model B, dues i el model C, tres hores. En total s’han produït $14$ aparells de televisors, la unitat de muntatge ha treballat $25$ hores i la unitat d’acabat ha treballat $26$ hores. Quants televisors de cada tipus s’han produït?
  2. Un concessionari de motos comercialitza dos models, un de $125$ cc i un altre de $50$ cc. Per cada moto de $12$5 cc que ven, guanya $1000$ euros i per cada moto de $50$ cc, guanya $600$ euros. D’altra banda, per tal de satisfer els objectius marcats pel fabricant, cal que el concessionari compleixi les condicions següents:
    1. Vendre entre $50$ i $150$ motos de $125$ cc.
    2. Vendre almenys tantes motos de $50$ cc com de $125$ cc.
    3. No vendre més de $500$ motos de $50$ cc.

      Determineu quantes motos de cada tipus ha de vendre el concessionari per a obtenir el màxim benefici, i calculeu aquest benefici màxim.
  3. Un comerciant pot comprar articles a $350$ euros la unitat. Si els ven a $750$ euros la unitat, en ven $30$. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de $20$ euros en el preu de venda, incrementa les vendes en $3$ unitats. Considerant que el comerciant només comprarà el nombre d’articles que sap que vendrà:
    1. Escriviu la funció de beneficis a partir del nombre de vegades $x$ que s’aplica el descompte.
    2. Determineu el preu de venda que fa màxims els beneficis del comerciant i justifiqueu que és un màxim. Determineu quantes unitats vendrà.
  4. Un nutricionista, després de fer un estudi personalitzat a un pacient, li proposa una dieta. Segons el model del nutricionista, el pes en kilograms del pacient seguirà la funció $$f(x) = \frac{63x+510}{6+x}$$ en què $x$ denota el nombre de mesos que fa que segueix la dieta
    1. Justifiqueu que la funció $f(x)$ és estrictament decreixent quan $x\geqslant0$.
    2. Determineu el pes inicial del pacient i quant pesarà al cap de dos mesos de seguir la dieta segons el model. Cap a quin valor tendirà el seu pes a llarg termini? Argumenteu si aquest valor límit s’assolirà en algun moment.
  5. Considereu una funció $f(x)$ que té com a primera derivada $f'(x) = 2x^2 + bx + 4$, en què $b$ és un paràmetre real.
    1. Determineu el valor de $b$ perquè $f(x)$ tingui un extrem relatiu en $x = –1$ i raoneu si es tracta d’un màxim o d’un mínim.
    2. Si sabem que la gràfica de la funció $f(x)$ passa pel punt $(0, 3)$, trobeu l’equació de la recta tangent a $f(x)$ en aquest punt.
  6. Siguin les matrius: $$P =\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\ a & 0\end{array}\right),\ Q =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 5\\ 8 & 4 & b\end{array}\right)\ \mathrm{i}\ R =\left(\begin{array}{ccc}c & d & 6\\ 10 & 10 & 50\end{array}\right)$$
    1. Calculeu, si és possible, $P \cdot Q$ i $Q \cdot P$, raonant la teva resposta.
    2. Quant han de valer les constants $a$, $b$, $c$ i $d$ per que $P \cdot 2Q = R$?
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *