Examen de matemàtiques II 26 de juny de 2020
26 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora
  1. Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y-\beta z & = & -3 \\2x+(\beta-5)y+z & = & 4\beta+2 \\4x+(\beta-1)y-3z & = & 4\end{array}\right\}$$
    1. Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$
    2. Hi ha algun valor de $\beta$ per al qual $x=1$, $y=–3$, $z=–1$ sigui l’única solució del sistema?
    3. Resol el sistema per al cas o casos en els quals tingui infinites solucions.
  2. Donada la recta$$r:\left\{\begin{array}{rrr}2x-y+3z & = & 2\\x+z+1 & = & 0\end{array}\right.$$
    1. Trobeu-ne un vector director
    2. Calculeu l’equació contínua de la recta paral·lela a $r$ que passa pel punt $P(1, 0, −1)$.
  3. Si tenim la matriu invertible $A$ i l’equació matricial $X\cdot A+B=C$:
    1. Aïlleu la matriu $X$.
    2. Trobeu la matriu $X$ quan $A = \begin{pmatrix}1&-2\\ -1&1\end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix}1&1\\ -2&1\end{pmatrix}$ i $C=\begin{pmatrix}3&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$
  4. Definim les funcions $f(x)=a(1 – x^2)$ i $g(x) = \frac{x^2-1}{a}$, en què $a>0$
    1. Comproveu que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és: $$\frac{4(1+a^2)}{3a}$$
    2. Calculeu el valor del paràmetre $a$ perquè aquesta àrea sigui mínima.
  5. Siguin $r_1:x-2=\displaystyle\frac{y-3}{2}=\frac{1-z}{2}$ i $r_2:\displaystyle\frac{x+3}{2}=y+1=\frac{z+1}{2}$
    1. Comproveu que $r_1$ i $r_2$ són perpendiculars.
    2. Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall.
  6. Sigui $f(x)=x^2\cdot e^{–ax}$ quan $a\not=0$.
    1. Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa $x=2$.
    2. Quan $a=2$, classifiqueu-ne els extrems relatius.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *