Examen matemàtiques II 05.06.2020
5 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora
  1. Dadas las matrices $$A = \left(\begin{array}{ccc}2-m & 1 & 2m-1\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{array}\right) , X = \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right) , B = \left(\begin{array}{c}2m^2-1\\ m\\ 1\end{array}\right)$$ considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $X^tA=B^t$, donde $X^t$ , $B^t$ denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de $m$
  1. Considera la recta $$r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$$y los planos $\pi_1 \equiv x=0$ y $\pi_2 \equiv y=0$
    1. Halla los puntos de la recta r que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$
    2. Determina la posición relativa de la recta r y la recta de instersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$
  1. Determina un punto de la curva de ecuación $y = x e^{-x^2}$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
  1. Se sabe que la función $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$. Conociendo además que $\displaystyle\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$, $b$ y $c$.
  1. Sea $f$ la función definida para $x \neq 1$ por $f(x) = \displaystyle\frac{2x^2}{x-1}$
    1. Determina las asíntotas de la gráfica de $f$
    2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$
    3. Esboza la gráfica de $f$
  1. Considera las matrices: $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)\qquad y \qquad B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$
    1. ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?
    2. Para $\lambda=1$, resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$.

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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