Problema 1
31 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como ecuación $y = \displaystyle\frac{2x+2}{1-x}$

El área del trozo bajo la parte curva sería:
$$\int_{-1}^0 \frac{2x+2}{1-x} dx$$

Podemos expresar la integral de la forma:
$$\int_{-1}^0 \frac{2x+2}{1-x} dx = \int_{-1}^0 \frac{2x}{1-x} dx +\int_{-1}^0 \frac{2}{1-x}dx=$$

Realizando el cambio de variable adecuado y substituyendo, obtenemos:

$$=-2+4\ln \left(2\right)$$

El resto del área se puede calcular como la integral bajo la recta que pasa por los puntos $(2,0)$ y $(0,2)$. Habría que calcular la ecuación de la recta y después hacer una suma de integrales (una entre $0$ y $2$, y otra entre $2$ y $3$), teniendo en cuenta que la segunda integral habría que tomarla en valor absoluto (está bajo el eje).
Sin embargo, se puede hacer más fácil: como áreas de triángulos. Basta aplicar $displaystyle\frac{base\cdot altura}{2}$ y obtendríamos un área de $2\ \mathrm{u^2}$ en el primer triángulo y de $0.5\ \mathrm{u^2}$ en el segundo.

El área total que nos piden es:
$$A = -2 + 4 ln(2) + 2.5 = \fbox{4 ln(2) + 0.5}$$

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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