Problema 2 examen matemàtiques II del 12 de juny de 2020
12 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Determina la posició dels següents plans en funció del paràmetre $a$: $$\pi_1: x+y+az=1 \qquad \pi_2: 2x+ay=1 \qquad \pi_3: ax+y+z=1 \qquad$$

Hem de recordar:

Si l’equació general de $3$ plans, obtenim un sistema $3\times 3$. Per saber-ne la posició relativa només ens caldrà recordar el que vam aprendre sobre el tipus de sistemes estudiant el rang de la matriu de coeficients, $A$ i de la matriu ampliada, $MA$:

  • $Rang A=Rang MA=3\rightarrow$ El sistema és compatible determinat i té una única solució, els plans es tallen en un punt.
  • $Rang A=Rang MA=2\rightarrow$ El sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions, els plans es tallen en una recta.
  • $Rang A \neq Rang MA\rightarrow$ El sistema és incompatible i no té solució, els plans no es tallen. Aquí poden passar vàries possibilitats, per exemple que siguin paral·lels, que es tallin dos a dos…

Si escrivim la matriu de coeficients A i la matriu ampliada, MA, tenim que:

$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
2 & a & 0\\
a & 1 & 1
\end{array}
\right)
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & a & 1\\
2 & a & 0 & 1\\
a & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)$$
Calculem ara el determinant de la matriu $A$:

$$|A|=-a^3+3a-2=-(a-1)^2(a+2)$$
Si l’igualem a zero, veiem que s’anul·la pels valors $a=-2$ i$ a=1$. Per tant, podem definir $3$ casos:

  1. Si $a \neq -2$ i $a \neq 1$:
    Ens trobem que $Rang A= Rang MA=3$. Per tant el sistema és compatible determinant i els $3$ plans es tallen en un punt.
  2. Si $a=-2$:

$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -2\\
2 & -2 & 0\\
-2 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\qquad
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 1\\
2 & -2 & 0 & 1\\
-2 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)$$

Si orlem el menor d’ordre $2$ amb el vector columna dels termes independents de la matriu ampliada obtenim que:

$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 1\\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix}=-9$$

Per tant, en aquest cas, $Rang A=2$, $Rang MA=3$. Com que no coincideixen el sistema és incompatible i els plans no es tallen. Per veure la seva posició relativa, mirem els coeficients dels plans i veiem que no són proporcionals. Aleshores els plans es tallen $2$ a $2$.

  1. Si $a=1$: $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$ Aquí, $Rang A= Rang MA=2$, per tant el sistema és compatible indeterminat i els $3$ plans es tallen en una recta. De fet, ja veiem que el primer i el tercer pla són coincidents.
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *