Problema 2
27 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Considere la función real de variable real $f(x) = \displaystyle\frac{2x^3}{x^2-1}$

1. Busque su dominio.

El dominio de una función es el conjunto de entradas o valores de los argumentos para los cuales la función es real y definida:

$$Dom_f = \{x\in \RR | x^2-1\not=0\}\longrightarrow Dom_f= \RR-\{\pm1\}$$

2. Calcule la ecuación de sus asíntotas, si tiene.

  • Las asíntotas verticales serán:
    • $\displaystyle\lim _{x\to \:1^+}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right)=+\infty \:$
    • $\displaystyle\lim _{x\to \:1^-}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right)=-\infty \:$
    • $\displaystyle\lim _{x\to \:-1^+}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right)=+\infty \:$
    • $\displaystyle\lim _{x\to \:-1^-}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right)=-\infty \:$

Lo que nos indica que en $x = 1$ y en $x =-1$ tendremos sendas asíntotas verticales.

  • Las asíntotas horizontales serán:

$$\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}\right) = \infty$$

como el límite anterior nos da infinito (el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador), significa que no tiene asíntotas horizontales y deberemos buscar si tiene asíntotas oblicuas.

  • La asíntota oblicua será:

Las asíntotas oblicuas están definidas por $y=mx+n$, donde la pendiente $m= \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ y la ordenada del origen $n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$

$m= \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{\frac{2x^3}{x^2-1}}{x}\right)=2$

$n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx) = \lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{2x^3}{x^2-1}-2x\right)=0$

Es decir; $y=2x$

3. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las abscisas de sus extremos relativos, si tiene, y clasificadlos.

Para buscar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos; deberemos derivar la función e igualarla a cero:

$y=\displaystyle\frac{2x^3}{x^2-1}\longrightarrow y’=\frac{2\left(x^4-3x^2\right)}{\left(x^2-1\right)^2}\longrightarrow y’=0\longrightarrow \frac{2\left(x^4-3x^2\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=0\longrightarrow2\left(x^4-3x^2\right)=0$

$x^2(x^2-3)=0\longrightarrow x=0;\ x=\pm\sqrt{3}$

Por tanto los posibles máximos o mínimos serán $x=0$, $x=\sqrt{3}$ y $x=-\sqrt{3}$

$\mathrm{Máximo}\left(-\sqrt{3},\:-3\sqrt{3}\right),\:\mathrm{Mínimo}\left(\sqrt{3},\:3\sqrt{3}\right)$

En el punto $x=0$ no hay ni máximo ni mínimo.

$\mathrm{Creciente}:-\infty \:<x<-\sqrt{3}\longrightarrow(-\infty ,-\sqrt{3})$

$\mathrm{Decreciente}:-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\longrightarrow(-\sqrt{3} , \sqrt{3})$

$\mathrm{Creciente}:\sqrt{3}<x<\infty\longrightarrow(\sqrt{3} , \infty)$

gráfico de la función
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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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