Problema 3
30 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones $$\left\{ \begin{array}{lll}x+y &=&2\\2x+y+z&=&7\end{array}\right.$$

Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta nos valdrá como vector normal del plano.
Dado que tenemos un punto por donde pasa y su vector normal, podemos determinar la ecuación del plano.

En primer lugar hallamos el vector director de la recta (mediante alguno de los procedimientos descritos en los apuntes. Usaremos este: obtenemos un par de puntos de la recta y a partir de ellos el vector director

Si$ x=0 \longrightarrow y=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 0 + 2 + z = 7 \longrightarrow z=5$ (en la 2ª ecuación)
El primer punto sería $(0,2,5)$

Si $y=0 \longrightarrow x=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 2 + 0 + z = 7 \longrightarrow z=3$ (en la 2ª ecuación)
El segundo punto sería $(2,0,3)$

El vector director de la recta será $(2,-2,-2)$, por tanto el plano tendrá como ecuación $2x -2y-2z+D=0$

Ahora le hacemos pasar por el punto $A(1,-2,1)$ y obtenemos el valor de $D$
$$2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) -2 \cdot 1+D=0$$
$$2+4 -2+D=0 \longrightarrow D=-4$$

Ecuación del plano que nos piden: $2x -2y-2z-4=0$
que se puede simplificar, quedando $\fbox{x -y-z-2=0}$

Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$

Para hallar la distancia del punto ($A$) a la recta ($r$) usaremos la fórmula
$$d(A,r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$

donde $P$ es un punto cualquiera de la recta y $\vec{v}$ su vector director.
Para hallar el vector $\vec{PA}$ usaremos uno de los puntos obtenidos en el apartado a), por ejemplo $(0,2,5)$ y el punto$ A(1,-2,1)$, quedando $\vec{PA}=(1,-4,-4)$
El vector director de la recta también lo tenemos del apartado anterior $\vec{v}=(2,-2,-2)$
Aplicamos la fórmula y calculamos:

$$d(A,r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|(1,-4,-4) \times (2,-2,-2)|}{|(2,-2,-2)|}$$

Hacemos previamente el producto vectorial en el numerador y queda $(0,-6,6)$

$$d(A,r) =\frac{|(0,-6,6)|}{|(2,-2,-2)|} = \frac{\sqrt{0^2+(-6)^2+6^2}}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} = \sqrt{6}$$

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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