Problema 3
23 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene $8$ gramos del primer elemento, $1$ gramo del segundo y $2$ del tercero; un kilo de B tiene $4$ gramos del primer elemento, $1$ gramo del segundo y $2$ del tercero. Si se desea obtener al menos $16$ gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho $5$ y $20$ gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale $20$ € y uno de B $100$ €.

Variables del problema:

$x$: quilos de la substància A
$y$: quilos de la substància B.

Funció objectiu:

S’ha de minimitzar el cost (cost $=$ (preu del quilo de la substància A) $\cdot$ (preu del quilo d’A) $+$ (preu del quilo de la substància B) $\cdot$ (preu del quilo de B):

\begin{equation}
\textcolor{black}{C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y}
\end{equation}

Restriccions:

\begin{equation}\textcolor{black}{\left\{\begin{array}{l}
x\geqslant 0, y\geqslant 0 \\
8x+4y\geqslant 16\\
x+y\leqslant 5\\
2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20\\
x\leqslant 2\cdot y\end{array}\right. }\end{equation}

Vèrtexs de la regió de validesa: (Són els punts de tall entre les rectes associades a les restriccions, que a més compleixen totes les inequacions. Vegeu que la restricció $2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$ no aporta informació rellevant, és a dir, no delimita la regió de validesa.)

  • $(0,4)$ on tallen les restriccions $x\geqslant 0$ i $8x+4y\geqslant 16$
  • $(0,5)$ on tallen les restriccions $x\geqslant 0$ i $x+y\leqslant 5$
  • $\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3}\right)$ on tallen les restriccions $x+y\leqslant 5$ i $x\leqslant 2\cdot y$
  • $\left(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}\right)$ on tallen les restriccions $8x+4y\geqslant 16$ i $x\leqslant 2\cdot y$

Valor de la funció objectiu en els vèrtexs de la zona de validesa:

  • $C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$
  • $C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$
  • $C\left(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3}\right)=20\cdot \dfrac{10}{3}+100\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{700}{3}\approx 233.33$
  • $C\left(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}\right)=20\cdot \dfrac{8}{5}+100\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{560}{5}=112$

La funció cost pren el seu valor mínim $112$ € en el punt $C\left(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}\right)$ és a dir, en comprar $\dfrac{8}{5}$ de quilo de la substància A i
$\dfrac{4}{5}$ de quilo de la B.

Per aconseguir minimitzar el cost, atenint-nos a les restriccions del problema, s’han de comprar $\dfrac{8}{5}$ de quilo de la substància A i $\dfrac{4}{5}$ de quilo de la B. En aquest cas el cost seria de $112$ €

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *