Problema 5 examen matemàtiques CCSS 04.06.2020
5 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función $$B(t) =\left\{\begin{array}{lcr}at – t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\ 2t & si & 6 < t \leq10 \end{array}\right.$$ siendo $t$ el tiempo transcurrido en años.

Calcule el valor del parámetro $a$ para que $B$ sea un función continua.

En los intervalos $(0,6)$ y $(6,10)$ la función es continua por ser polinómica en ambos casos.
Para que también sea continua en el punto $x=6$ (punto que separa ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto: debe existir $f(6)$ y además coincidir con ambos límites laterales.
$$a \cdot 6 – 6^2 = 2 \cdot 6 \longrightarrow \boxed{a=8}$$

Para $a=8$ represente su gráfica e indique en qué periodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.

La función crece en $(0,4)$ , decrece en $(4,6)$ y vuele a crecer en $(6,10)$. Por tanto: el beneficio crece durante los primeros $4$ años, decrece en los dos años siguientes y vuelve a crecer en los $4$ últimos años.

Para $a=8$ indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros $6$ años y a cuánto asciende su valor.

En los $6$ primeros años el máximo está en el vértice de la parábola: $(4, 16)$. Dado que el tiempo está en años y el Beneficio en millones de euros, el beneficio máximo es de $16$ millones y se obtiene a los $4$ años.

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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