Problema 6 examen de matemàtiques CCSS 25 de juny de 2020
25 de juny de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

El benefici, en milers d’euros, que ha obtingut una almàssera (Molí que mol les olives reduint-les a pasta per a obtenir-ne l’oli) al llarg de 50 anys de vida ve donat per l’expressió $$B(t)=\left\{\begin{array}{lr}-0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 & \\ \displaystyle\frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50\end{array}\right.$$ on $t$ és el temps transcorregut.

Estudiï la continuïtat i la derivabilitat de la funció $B (t)$ en l’interval $[0,50]$.

continuïtat


$-0.04t ^ 2 + 2.4t$ és contínua en $\RR$ i per tant en $(0,40)$

$\frac{40t-320}{t}$ és contínua en $\RR -{0}$ i per tant en $(40,50)$

Vegem la contiuïtat en $t = 40$

  • $B (40) = \displaystyle\frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32$
  • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 40^-} B (t) = – 0.04 \cdot 40 ^ 2 + 2.4 \cdot 40 = 32$
  • $\displaystyle\lim_{x \to 40^+} B (t) = \frac{40 \cdot 40 -320}{40} = 32$

Com els $3$ resultats anteriors coincideixen, la funció és contínua en $t = 40$ i per tant, és contínua en tot l’interval $[0,50]$.

derivabilitat


En $(0,40)$ és derivable i la seva derivada és $-0.08t + 2.4$

En $(40,50)$ és derivable i la seva derivada és $\displaystyle\frac{40 \cdot t – (40t-320) \cdot 1}{t^2} = \frac{320}{t^2}$

Vegem la derivabilitat en $t = 40$

  • $B^{\prime}(40^-) = – 0.08 \cdot 40 + 2.4 = -0,8$
  • $B^{\prime}(40^+) = \displaystyle\frac{320}{40^2} = 0.2$

Com que no coincideixen les derivades laterals, no és derivable en $t = 40$

Per tant, $B (t)$ és derivable en $(0,50) – {40 }$ i la seva derivada és:

$$B (t) = \left\{\begin{array}{lr}-0.08t + 2.4 & 0 \leq t <40 & \\ \displaystyle\frac{320}{t^2} & 40 <t <50\end {array}\right.$$

Estudiï la monotonia de la funció $B (t)$ i determini en quin moment van ser grans els beneficis de l’almàssera, així com el benefici màxim.

$$-0.08t + 2.4=0 \longrightarrow t=\frac{2.4}{0.08}=30
\frac{320}{t^2} =0 \longrightarrow\ \mathrm{Sense Solució}$$

Els intervals a considerar són:

$$(0,30) (30,40) (40,50)$$
Prenem un punt de cada interval i analitzem el signe de la derivada

  • $1 \in (0,30) \longrightarrow -0.08 \cdot 1 + 2.4 >0 \longrightarrow\ \mathrm{CREIX}$
  • $35 \in (30,40) \longrightarrow -0.08 \cdot 35 + 2.4 <0 \longrightarrow\ \mathrm{DECREIX}$
  • $45 \in (40,50) \longrightarrow \frac{320}{45^2} >0 \longrightarrow\ \mathrm{CREIX}$

Tenim un màxim local en $t=30$ (El vèrtex de la paràbola) i un altre màxim local en $t = 50$ (el punt més alt del segon tros)

  • $B(30)=-0.04 \cdot 40^2+2.4 \cdot 30 = 36$
  • $B(50)=\displaystyle\frac{40 \cdot 50-320}{50} = 33.6$

Per tant, els màxims beneficis són 36000 euros, que s’obtenen als 30 anys.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *