Problema d’optimització
29 de maig de 2020 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Para fabricar un depósito cilíndrico de 10 metros cúbicos de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2$ € y el del lateral es de $15$

Tendremos que utilizar las fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Sean $r$ el radio y $h$ su altura.

El volumen se calcula fácilmente multiplicando el área de la base (que es un círculo) por su altura: volumen de un cilindro de altura $h$ y radio $r$:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{V = S_{base}\cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h}
\end{equation}

El área de la superficie es el área de las bases más el área del lateral. Como las bases son dos círculos de radio $r$, sus áreas suman:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A = 2\cdot\pi\cdot r}
\end{equation}

El lateral es un rectángulo de altura $h$ y cuya base coincide con el perímetro de la base del cilindro, así que su área es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A_L = h\cdot2\cdot\pi\cdot r}
\end{equation}

Por tanto, el área total del cilindro es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A = 2\cdot\pi \cdot r^2 + 2\cdot\pi\cdot h\cdot r = 2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h)}
\end{equation}

Como los precios de los materiales del cilindro son por metro cuadrado, la unidad de medida que utilizaremos será el metro.

La capacidad del cilindro debe ser $10000\ \text{litros}$.Sabiendo que un litro equivale a $1\ dm^3$, la capacidad ha de ser de $10000\ dm^3$. Es decir:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{10000\ dm^3 = 10\ m^3}
\end{equation}

Igualamos el volumen del cilindro a su capacidad:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\pi\cdot r^2\cdot h = 10}
\end{equation}

El precio del material es de $2$ euros por metro cuadrado de base. Como hay dos bases, la cantidad asciende a:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{2\cdot(2\cdot\pi\cdot r^2) = 4\cdot\pi\cdot r^2}
\end{equation}

Y como el precio del lateral es de $15$ euros por metro cuadrado, éste asciende a:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{15\cdot(2h\pi r) = 30h\pi r}
\end{equation}

Luego la función precio del depósito es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P = 30\pi hr+4\pi r^2}
\end{equation}
Podemos escribir $h$ en función de $r$:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\pi r^2h=10}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h=\frac{10}{\pi r^2}}
\end{equation}

Así, la función es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P(r) = 30\pi hr + 4\pi r^2 = \frac{300}{r} + 4\pi r^2}
\end{equation}

Derivamos la función:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(r) = -\frac{300}{r^2}+8\pi r}
\end{equation}

Igualamos la función anterior a $0$ y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(r) = 0 \longrightarrow -\frac{300}{r^2}+8\pi r = 0 \longrightarrow r^3 = \frac{300}{8\pi}}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\boxed{r} = \sqrt[3]{\frac{300}{8\pi}} \cong
\boxed{2.29}}
\end{equation}

Ahora estudiaremos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos $r=1$ y $r=3$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(1) \cong-279.9<0} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{P'(3) \cong42.1>0}
\end{equation}

Luego la función tiene un mínimo en $r = 2.29$, por tanto, el radio debe de medir $2.29\ \text{m}$ y la altura

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h = \frac{10}{\pi r^2} = \frac{10}{\pi\cdot2.29^2} \cong0.607\ m}
\end{equation}

El precio del depósito nos lo proporciona la función:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P(2.29) = \frac{300}{2.29}+4\pi\cdot2.29^2\cong196.9}
\end{equation}

El precio del depósito es de $196.9$ €

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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