Etiqueta: matemàtiques II

Etiqueta: matemàtiques II

PROBLEMA 1 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Dau lo siguient sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y+(m+1)z&=2\\ x+(m-1)y+2z&=1\\2x+my+z&=-1\end{array}\right.$$Discuta lo sistema seguntes las valors de $m\in\mathbb R$. Discutimos lo sistema utilizando lo teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos las matrices de coeficients y enamplada: $$M=\begin{pmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{pmatrix}\qquad M^=\begin{pmatrix}1&1&m+1&2\\1&m-1&2&1\\2&m&1&-1\end{pmatrix}$$Calculamos lo rango d’a matriz $M$: $$\begin{align}\begin{vmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{vmatrix}=m-1+4+m(m+1)-2(m+1)(m-1)-1-2m=\\=m+2+m^2+m-2(m^2-1)-2m=2-m^2+2=4-m^2\end{align}$$Determinant que s’anula pa $m=\pm2$. Si $m\neq2\text{ y }m\neq-2$, alavez $rg(M)=3=rg(M)=n$ y lo sistema ye compatible determinau. Si

Read More
PROBLEMA 2 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$: a) Calcule, si ye posible, $(A\cdot B^t)^{-1}$.b) Comprebe que, $C^3=I$, an $I$ ye la matriz identidat, y calcule $C^{16}$. a) En primer puesto calculamos $A\cdot B^t$: $$A\cdot B^t=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}$$Clamamos $D$ a esta matriz y calculamos la suya inversa con a siguient formula: $$D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj}D)^t|D|=-4\qquad \text{Adj}D=\begin{pmatrix}0&-1\\-4&3\end{pmatrix}$$Dimpués: $$(A\cdot B^t)^{-1}=D^{-1}=\frac{1}{-4}\cdot\begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix}$$ b) Comprebamos que $C^3=I$: $$C^2=C\cdot C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$$$C^3=C^2\cdot

Read More
PROBLEMA 3 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Resuelta lo sistema matricial $$\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\\2X+3Y&=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}\end{array}\right.$$ Sía $A=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}$ alavez lo sistema ye: $$\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.$$Multiplicamos per $2$ la primera equación: $$\left\{\begin{array}{rl}2X-4Y&=2A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.$$Si a la equación segunda le restamos la primera obtenemos: $$7Y=B-2A$$ d’an $$Y=\dfrac17\cdot(B-2A)=\dfrac17\cdot\left[\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\right]~;\ Y=\dfrac17\cdot\begin{pmatrix}7&0&-7 \\4&7&7\end{pmatrix}~;\ \boxed{Y=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}}$$Dau que $X-2Y=A$, alavez: $$\begin{align}X=A+2Y=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}~;\\ \boxed{X=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}}\end{align}$$

Read More
PROBLEMA 4 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Se considera la dreita $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.$a) Calcule la equación d’o plano que contiene a la dreita $r$ y que pasa per lo punto $(0,0,1)$.b) Se considera lo paralelepípedo definiu per los vectors $\vec u,~\vec v\text{ y }\vec u\times\vec v$. Sabendo que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, calcule lo volumen de dito paralelepípedo. a) La equación d’o fe de

Read More
PROBLEMA 5 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcule lo siguient limite: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)$$ $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=1^{\infty}$$Clamamos $L$ a lo limite que nos piden. Aplicando logaritmos: $$\displaystyle\begin{align} \ln L=\ln\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x^3}\cdot\ln(1+x-\text{sen}(x))=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}=\dfrac00\end{align}$$Resolvemos esta indeterminación aplicando la regla de L’Hôpital: $$\displaystyle\begin{align}\ln L=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac{1-\cos(x)}{1+x-\text{sen}(x)}}{3x^2}=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\cos(x)}{3x^2+3x^3-3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\text{sen}(x)}{6x+9x^2-6x\text{sen}(x)-3x^2\cos(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\cos(x)}{6+18x-6\text{sen}(x)-6x\cos(x)-6x\cos(x)+3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac16\end{align}$$Dimpués, si $\ln L=\frac16$ alavez: $$\boxed{L=y^{1/6}}$$

Read More
PROBLEMA 6 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Se considera la siguient función: $f(x)=\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}$. Estudeye la existencia de asíntotas verticals, horizontals y obliquas y las calcule quan existan. Prencipiamos calculando lo dominio de $f$: $$1-y^{-x}=0~;\ y^{-x}=1~;\ -x=\ln 1~;\ x=0$$Lo dominio de $f$ ye $\mathbb R\setminus{0}$.Calculamos si existe asíntota vertical en $x=0$ (utilizamos la regla de L’Hôpital pa resolver las indeterminacions $0/0$ y $\infty/\infty$):

Read More
PROBLEMA 7 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Se considera la siguient función $f(x)=\ln(2x+1)$. a) Estudeye lo suyo dominio, asinas como los suyos intervalos de creiximiento y decreiximiento.b) Trobe la equación d’a dreita tangente a f en o punto de abscisa $x=\frac{1}{2}$. a) Lo dominio de $f$ ye lo conchunto de totz los numeros reals tals que: $$2x+1>0~;\\2x>-1~;\\x>\dfrac{-1}2$$Ye decir, $\text{Dom }(f)=(\frac{-1}2,+\infty)$.Estudiamos la monotonía

Read More
PROBLEMA 8 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcule la siguient integral: $$\displaystyle\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx$$. Femos un cambio de variable: $$x=t^2\rightarrow dx=2t~dt$$Sía I la integral a resolver: $$\displaystyle I=\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx=\int\left(\sqrt{t^2}\cdot\ln^2t^2\right)2t~dt=\int2t^2\ln^2t^2~dt$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes: $$\begin{array}{lcl}u=\ln^2t^2&\rightarrow&du=2\ln t^2\cdot\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{4\ln t^2}t\\ dv=2t^2~dx&\rightarrow&v=\dfrac{2t^3}3\end{array}$$$$\displaystyle I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\int\dfrac{2t^3}3\dfrac{4\ln t^2}t~dt=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\underbrace{\int\dfrac{8t^2\ln t^2}3~dt}_{I_1}\qquad(1)$$Utilizamos lo metodo d’integración per partes pa calcular la integral $I_1$: $$\begin{array}{lcl}u=\ln t^2&\rightarrow&du=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac2t\\ dv=\dfrac{8t^2}3~dt&\rightarrow&v=\dfrac{8t^3}9\end{array}$$$$\displaystyle I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{8t^3}9\dfrac2t~dt=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{16t^2}9~dt~;\\I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1$$Substituyindo en (1): $$I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\left(\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1\right)~;\\I=\dfrac{18t^3\ln^2t^2-24t^3\ln t^2+16t^3}{27}+k~;\\I=2t^3\cdot\dfrac{9\ln^2t^2-12\ln

Read More
PROBLEMA 9 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

Seguntes estatisticas de l’Instituto Nacional d’Estatistica, la probabilidat que un varón sía en aturo ye d’o 12%, mientres que la que una muller lo sía ye d’o 16%. Amás, la probabilidat d’estar varón ye d’o 64% y la d’estar muller d’o 36%. a) Hemos connectau per retz socials con una persona quál ye la probabilidat

Read More
Problema 10 de EVAU Matematicas II Aragón
1 d'abril de 2021 General Oscar Alex Fernandez Mora

D’os estudiants universitarios espanyols, un de cada 5 abandona los suyos estudios. Se trían 5 estudiants universitarios espanyols a lo azar, de modo independient. Quál ye la probabilidat que un u garra de ditos estudiants abandonen los suyos estudios? (No cal finalizar los calculos, puede deixar-se indicada la probabilidat, precisando y desenvolvendo los numeros y

Read More